Toute personne qui prépare un entretien de trading ou de structuration finira par buter sur la même question : combien vaut cette option ? Le modèle de Black-Scholes est la réponse que la finance de marché s'est donnée en 1973, et c'est encore le premier réflexe attendu d'un candidat. Le maîtriser ne consiste pas à réciter une formule, mais à savoir ce qu'elle suppose, où elle se trompe, et comment la manier de tête. Cet article traite les trois. Un peu d'histoire : de Bachelier au prix Nobel L'idée que le prix d'un actif puisse être modélisé comme un processus aléatoire ne date pas de 1973. Elle remonte à la thèse de Louis Bachelier, Théorie de la spéculation, soutenue à la Sorbonne en 1900, un travail longtemps ignoré qui anticipait le mouvement brownien cinq ans avant Einstein. Le mérite de Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton fut de transformer cette intuition en un prix : non pas une prédiction de la valeur future de l'actif, mais le coût exact de la couverture d'une option. L'article fondateur, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, paraît dans le Journal of Political Economy en 1973, l'année même où le Chicago Board Options Exchange ouvre ses portes. Le calendrier n'a rien d'anodin : un marché organisé des options venait de naître, et il lui fallait une grammaire des prix. Scholes et Merton reçoivent le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel en 1997 ; Black, mort en 1995, n'a pu y prétendre : le comité ne récompense pas à titre posthume. La formule de Black-Scholes Pour un call européen sur un actif sans dividende, le modèle donne : C = S0 N(d1) − K e−rT N(d2) et, par la parité call-put, le prix du put correspondant : P = K e−rT N(−d2) − S0 N(−d1) avec : d1 = [ ln(S0/K) + (r + ½σ²) T ] / (σ√T) d2 = d1 − σ√T où S0 est le prix spot de l'actif, K le prix d'exercice, r le taux sans risque, T la maturité, σ la volatilité de l'actif, et N(·) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. La lecture financière prime sur l'algèbre. Le terme S0 N(d1) représente la valeur actuelle de l'actif reçu en cas d'exercice, pondérée par sa probabilité ajustée du risque ; K e−rT N(d2) représente le paiement du prix d'exercice, actualisé et pondéré par N(d2), la probabilité que l'option finisse dans la monnaie sous la mesure risque-neutre. Le prix d'une option n'est pas une espérance de gain : c'est le coût d'une couverture parfaite. Les hypothèses du modèle La formule est élégante parce que ses hypothèses sont fortes. Il faut les connaître, car ce sont elles qui cèdent dans le monde réel. Le modèle suppose que le prix de l'actif suit un mouvement brownien géométrique : les rendements logarithmiques sont distribués normalement, et la trajectoire du prix est continue, sans saut. Il suppose une volatilité σ constante et connue sur toute la durée de vie de l'option, ainsi qu'un taux sans risque r constant. Il suppose des marchés sans friction : pas de coûts de transaction, pas de taxes, des actifs infiniment divisibles, la vente à découvert autorisée, et la possibilité d'emprunter et de prêter au même taux r. Il suppose enfin l'absence d'opportunité d'arbitrage et une couverture en temps continu : le portefeuille de réplication est réajusté à chaque instant. L'actif ne verse aucun dividende, du moins dans la version originale ; l'extension de Merton lèvera cette restriction. Aucune de ces conditions ne tient exactement. La question n'est pas de savoir si le modèle est faux, il l'est, mais de savoir où son erreur devient coûteuse. Les limites : le smile de volatilité C'est ici que les défenseurs du modèle méritent d'être entendus avant d'être contredits. L'argument le plus solide en faveur de Black-Scholes n'est pas qu'il décrit fidèlement les marchés, mais qu'il offre un langage commun : une bijection entre un prix et une volatilité implicite. Les traders ne cotent pas des prix, ils cotent des vols ; la formule sert de dictionnaire. Vue ainsi, elle n'a pas besoin d'être vraie pour être indispensable. L'objection tient pourtant, et elle se lit directement dans les prix de marché. Si l'hypothèse de volatilité constante était exacte, toutes les options sur un même sous-jacent et une même maturité partageraient la même volatilité implicite, quel que soit leur strike. Or ce n'est pas le cas. En reportant la volatilité implicite en fonction du strike, on n'obtient pas une droite horizontale mais une courbe : le smile de volatilité, souvent déformé en skew sur les indices actions. Les options très en dehors ou très dans la monnaie s'échangent à des volatilités implicites supérieures à celles des options à la monnaie. Le smile est l'aveu, par le marché lui-même, que les rendements ne sont pas log-normaux : les queues de distribution sont plus épaisses que la loi normale ne le prévoit, et les krachs existent. Le phénomène s'est d'ailleurs accentué après le lundi noir d'octobre 1987, comme si le marché avait décidé de tarifer durablement le risque d'effondrement que Black-Scholes ignore. Les modèles ultérieurs (volatilité locale de Dupire, volatilité stochastique de Heston, modèles à sauts de Merton) ne sont, pour l'essentiel, que des tentatives de rendre compte de cette courbure que le modèle de 1973 ne sait pas produire. Exercice corrigé : le call à la monnaie, façon entretien Voici la question telle qu'un desk peut la poser, sans calculatrice : « L'actif cote 100, la volatilité est de 20 %, la maturité d'un an, le taux est nul. Combien vaut le call à la monnaie ? » L'examinateur ne cherche pas une décimale ; il cherche à savoir si le candidat connaît l'approximation que tout trader d'options a en tête. Posons le cadre : option à la monnaie, donc S0 = K = 100 ; taux nul, donc r = 0 ; σ = 0,20 et T = 1. Calculons d1 et d2 : d1 = [ ln(1) + ½σ²T ] / (σ√T) = σ√T / 2 = 0,20 / 2 = 0,10 d2 = −0,10 Le prix devient C = S0 [ N(0,10) − N(−0,10) ]. Reste à évaluer cette différence sans table. C'est là qu'intervient l'astuce : pour un x petit, N(x) − N(−x) ≈ 2 x n(0), où n(0) = 1/√(2π) ≈ 0,4 est la densité normale en zéro. On obtient donc l'approximation que les praticiens gardent en mémoire : CATM ≈ (1 / √(2π)) S0 σ√T ≈ 0,4 × S0 × σ√T Application numérique : C ≈ 0,4 × 100 × 0,20 × 1 = 8. La valeur exacte donnée par Black-Scholes est 7,97 : l'approximation tient à moins de 0,5 % près. Un candidat qui sort « environ 8 » en quelques secondes, puis sait expliquer d'où vient le coefficient 0,4, a démontré l'essentiel : il comprend que le prix d'une option à la monnaie est, en première approximation, proportionnel à la volatilité et à la racine du temps. C'est cette proportionnalité, et non la formule complète, qui gouverne l'intuition sur un desk. Ce qu'il faut retenir Black-Scholes n'est pas un oracle ; c'est une convention de langage que le marché a adoptée tout en sachant ses hypothèses fausses. Le candidat qui impressionne n'est pas celui qui récite la formule, mais celui qui sait pourquoi le smile existe et combien vaut un call à la monnaie de tête. Bachelier l'avait entrevu dès 1900, en démontrant que les variations de cours obéissent à la loi de Gauss ; Black, Scholes et Merton n'ont fait qu'en tirer un prix. Et un prix, contrairement à une vérité, se négocie : c'est d'ailleurs tout ce que le marché sait faire. Aller plus loin avec Training You — Finance de Marché Le modèle de Black-Scholes, le pricing d'options et la couverture sont au cœur du Pack Premium Finance de Marché : vidéos de cours, fiches, tests d'entraînement et corrigés pour arriver prêt en entretien de trading, sales ou structuration. → Je démarre avec le Pack Premium Finance de Marché → Voir tous les cours Finance de Marché
Par Yong Jie Guan
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